免費線上 Z 評分和正態分佈計算器
z 分數測量一個值高於或低於平均值的標準差的數量。 此計算器在原始分數、z 分數和任何法線的百分位數之間進行轉換。
z分數
—
百比
—
機率 p(z≤z)
—
雙尾 P 值
—
解釋
如何使用
- 選擇模式 — 將原始值轉換為 z 分數，查詢 z 分數的百分位數，或查詢給定百分位的 z 分數。
- 填寫必填欄位。
- 單擊 計算 檢視完整輸出。
公式
z 分數的原始值：
z = (x − μ) / σ
其中 x 是原始值，μ 是平均值，σ 是標準差。
累積機率（CDF）：
P(Z ≤ z) = 0.5 × (1 + erf(z / √2))
誤差函式近似（HART）：
erf(x) ≈ 1 − (a₁t + a₂t² + a₃t³) × exp(−x²)
where t = 1 / (1 + 0.47047|x|)
a₁ = 0.3480242, a₂ = −0.0958798, a₃ = 0.7478556
兩尾p值：
p = 2 × min(P(Z ≤ z), 1 − P(Z ≤ z))
計算範例
學生分數 75 在平均值的測試中 70 和標準偏差 10:
z = (75 − 70) / 10 = 0.50
P(Z ≤ 0.50) ≈ 0.6915 → 69.15th percentile
two-tailed p = 2 × 0.3085 ≈ 0.617
標準臨界值：
z = 1.645 → 95th percentile (one-tailed 5%)
z = 1.960 → 97.5th percentile (two-tailed 5%)
z = 2.576 → 99.5th percentile (two-tailed 1%)
參考文獻
- Standard score (z-score)Wikipedia · en.wikipedia.org
- Normal distributionWikipedia · en.wikipedia.org
常見問題
什麼是 z 分數？
z 分數（也稱為標準分數）是標準差數 數據點與總體平均值。 公式：z = (x - μ) / σ。
如何從 z 分數計算百分位數？
百分位數是標準常態分佈的累積機率 p(z ≤ z)，以百分比表示。 計算器使用 Hart 對誤差函數 (ERF) 的有理近似值，精確到大約 4 位小數點後。
什麼是 p 值？
雙尾 p 值為 2 × min(p(z ≤ z), p(z > z))。 它表示在分佈的任一尾部中觀察到至少與計算的 z 分數一樣極端的機率。
「百分位到 z 分數」模式有什麼作用？
給定一個百分位數（0-100），它會傳回對應於該累積機率的 z 分數。 例如，第 97.5 個百分位對應於 z ≈ 1.96，這是在雙尾 95% 信賴區間中使用的臨界值。
這個計算器對於極端 z 分數是否準確？
使用的近似值在 -5 到 +5 的範圍內 Z 的大約 4 位小數。 在極值 (|z| > 5) 時，機率非常接近 0 或 1，小的絕對誤差無關緊要。
如何分享我的計算？
單擊與我的數字共享以複製 URL 以恢復您選擇的模式和輸入。
嵌入這個計算器
將此免費計算器新增到您自己的網站。 複製片段 - 它適用於您可以貼上 HTML 並與此頁面保持同步的任何地方。