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Kostenloser Online-Z-Score und Normalverteilungsrechner

Ein Z-Score misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt. Dieser Rechner konvertiert zwischen Rohwerten, Z-Werten und Perzentilen für alle Normalen.

Über diesen Rechner

wie man benutzt

  1. Wählen Sie einen Modus aus - Konvertieren Sie einen Rohwert in einen Z-Score, suchen Sie das Perzentil eines Z-Scores oder suchen Sie den Z-Score für ein bestimmtes Perzentil.
  2. Füllen Sie die erforderlichen Felder aus.
  3. Klicken Sie Berechnen um die volle Ausgabe zu sehen.

Formeln

Rohwert zum Z-Score:

z = (x − μ) / σ

Dabei ist x der Rohwert, μ der Mittelwert, σ die Standardabweichung.

Kumulative Wahrscheinlichkeit (CDF):

P(Z ≤ z) = 0.5 × (1 + erf(z / √2))

Annäherung der Fehlerfunktion (HART):

erf(x) ≈ 1 − (a₁t + a₂t² + a₃t³) × exp(−x²)
where t = 1 / (1 + 0.47047|x|)
a₁ = 0.3480242, a₂ = −0.0958798, a₃ = 0.7478556

Zweischwänziger p-Wert:

p = 2 × min(P(Z ≤ z), 1 − P(Z ≤ z))

Arbeitsbeispiel

Ein Schüler punktet 75 Bei einem Test mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 10:

z = (75 − 70) / 10 = 0.50
P(Z ≤ 0.50) ≈ 0.6915 → 69.15th percentile
two-tailed p = 2 × 0.3085 ≈ 0.617

Kritische Standardwerte:

z = 1.645 → 95th percentile (one-tailed 5%)
z = 1.960 → 97.5th percentile (two-tailed 5%)
z = 2.576 → 99.5th percentile (two-tailed 1%)

Häufig gefragt

Was ist ein Z-Score?
Ein z-Wert (auch Standardwert) gibt mit Vorzeichen an, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt ist. Formel: z = (x − μ) / σ.
Wie berechnet sich das Perzentil aus einem Z-Score?
Das Perzentil ist die als Prozentsatz ausgedrückte kumulierte Wahrscheinlichkeit P(Z ≤ z) der Standardnormalverteilung. Der Rechner verwendet Harts rationale Näherung der Fehlerfunktion (erf), die auf etwa 4 Dezimalstellen genau ist.
Was ist ein P-Wert?
Der zweiseitige p-Wert ist 2 × min(P(Z ≤ z), P(Z > z)). Er bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, in einem der beiden Verteilungsenden einen mindestens so extremen z-Wert wie den berechneten zu beobachten.
Was bewirkt der Modus „Perzentil zu z-Wert“?
Für ein Perzentil von 0–100 liefert der Rechner den z-Wert der entsprechenden kumulierten Wahrscheinlichkeit. Das 97,5. Perzentil entspricht zum Beispiel z ≈ 1,96, dem kritischen Wert eines zweiseitigen 95%-Konfidenzintervalls.
Ist dieser Rechner für extreme Z-Scores genau?
Die verwendete Approximation ist auf ungefähr 4 Dezimalstellen für Z im Bereich –5 bis +5 genau. Bei Extremwerten (|z| > 5) liegen die Wahrscheinlichkeiten extrem nahe bei 0 oder 1 und kleine absolute Fehler sind gering.
Wie teile ich meine Berechnung?
Klicken Sie auf Mit Meine Nummern teilen, um eine URL zu kopieren, die Ihren ausgewählten Modus und Ihre Eingaben wiederherstellt.

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