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Kostenloser Online-Z-Score und Normalverteilungsrechner

Ein Z-Score misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt. Dieser Rechner konvertiert zwischen Rohwerten, Z-Werten und Perzentilen für alle Normalen.

Über diesen Rechner

Anleitung

  1. Wählen Sie einen Modus aus - Konvertieren Sie einen Rohwert in einen Z-Score, suchen Sie das Perzentil eines Z-Scores oder suchen Sie den Z-Score für ein bestimmtes Perzentil.
  2. Füllen Sie die erforderlichen Felder aus.
  3. Klicken Sie Berechnen um die volle Ausgabe zu sehen.

Formeln

Rohwert zum Z-Score:

z = (x − μ) / σ

Dabei ist x der Rohwert, μ der Mittelwert, σ die Standardabweichung.

Kumulative Wahrscheinlichkeit (CDF):

P(Z ≤ z) = 0.5 × (1 + erf(z / √2))

Annäherung der Fehlerfunktion (HART):

erf(x) ≈ 1 − (a₁t + a₂t² + a₃t³) × exp(−x²)
where t = 1 / (1 + 0.47047|x|)
a₁ = 0.3480242, a₂ = −0.0958798, a₃ = 0.7478556

Zweischwänziger p-Wert:

p = 2 × min(P(Z ≤ z), 1 − P(Z ≤ z))

Rechenbeispiel

Ein Schüler punktet 75 Bei einem Test mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 10:

z = (75 − 70) / 10 = 0.50
P(Z ≤ 0.50) ≈ 0.6915 → 69.15th percentile
two-tailed p = 2 × 0.3085 ≈ 0.617

Kritische Standardwerte:

z = 1.645 → 95th percentile (one-tailed 5%)
z = 1.960 → 97.5th percentile (two-tailed 5%)
z = 2.576 → 99.5th percentile (two-tailed 1%)

Referenzen

Häufige Fragen

Was ist ein Z-Score?
Ein z-Wert (auch Standardwert) gibt mit Vorzeichen an, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt ist. Formel: z = (x − μ) / σ.
Wie berechnet sich das Perzentil aus einem Z-Score?
Das Perzentil ist die als Prozentsatz ausgedrückte kumulierte Wahrscheinlichkeit P(Z ≤ z) der Standardnormalverteilung. Der Rechner verwendet Harts rationale Näherung der Fehlerfunktion (erf), die auf etwa 4 Dezimalstellen genau ist.
Was ist ein P-Wert?
Der zweiseitige p-Wert ist 2 × min(P(Z ≤ z), P(Z > z)). Er bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, in einem der beiden Verteilungsenden einen mindestens so extremen z-Wert wie den berechneten zu beobachten.
Was bewirkt der Modus „Perzentil zu z-Wert“?
Für ein Perzentil von 0–100 liefert der Rechner den z-Wert der entsprechenden kumulierten Wahrscheinlichkeit. Das 97,5. Perzentil entspricht zum Beispiel z ≈ 1,96, dem kritischen Wert eines zweiseitigen 95%-Konfidenzintervalls.
Ist dieser Rechner für extreme Z-Scores genau?
Die verwendete Approximation ist auf ungefähr 4 Dezimalstellen für Z im Bereich –5 bis +5 genau. Bei Extremwerten (|z| > 5) liegen die Wahrscheinlichkeiten extrem nahe bei 0 oder 1 und kleine absolute Fehler sind gering.
Wie teile ich meine Berechnung?
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